Parametrizzazione del Gruppo Ortogonale Speciale

Di Anselmo Canfora

1. Introduzione

Scopo di questa breve trattazione è dare una descrizione esaustiva della struttura delle rotazioni in

R^{n}

mediante una particolare parametrizzazione di

S O_{n} (R)

definita ricorsivamente.

Tale lavoro permetterà di dimostrare che $S O_{n} (R)$ è fibrato in sfere, dando contemporaneamente una sua decomposizione in rotazioni piane che generalizza ad una dimensione qualunque il teorema di Eulero su $S O_{3} (R)$ .

2. Le funzioni vettoriali

2.1. Definizione ricorsiva delle funzioni

Definiamo ora le funzioni ${\overset{⇀}{σ}}^{n} : [0,2 π] \times {[0, π]}^{n - 1} \to S^{n} \subset R^{n + 1}$ .

Gli $n$ parametri di ${\overset{⇀}{σ}}^{n}$ saranno denotati con i simboli $α_{1}^{n}, α_{2}^{n},..., α_{n}^{n}$ .

Queste notazioni si riveleranno molto utili nel seguito, quando si farà un uso combinato di ${\overset{⇀}{σ}}^{1},..., {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1}$ per descrivere $S O_{n} (R)$ .

Occasionalmente, nelle dimostrazioni date per induzione, ${\overset{⇀}{σ}}^{n - 1}$ potrà avere come parametri $α_{1}^{n},..., α_{n - 1}^{n}$ invece di $α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}$ .

Definiamo innanzi tutto ${\overset{⇀}{σ}}^{1} : [0,2 π] \to S^{1} \subset R^{2}$ nel modo seguente:

${\overset{⇀}{σ}}^{1} (α_{1}^{1}) = (\begin{matrix} σ_{1}^{1} (α_{1}^{1}) \\ σ_{2}^{1} (α_{1}^{1}) \end{matrix}) : = (\begin{matrix} s e n α_{1}^{1} \\ \cos α_{1}^{1} \end{matrix})$ ; è immediato verificare che ${\overset{⇀}{σ}}^{1}$ parametrizza $S^{1}$ .

Definiamo ora ${\overset{⇀}{σ}}^{n}$ per induzione: $σ_{k}^{n} : = σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n},..., α_{n - 1}^{n}) s e n α_{n}^{n}$ per $k \leq n$ e

$σ_{n + 1}^{n} : = \cos α_{n}^{n}$ .

Così ad esempio ${\overset{⇀}{σ}}^{2} (α_{1}^{2}, α_{2}^{2}) = (\begin{array}{r} s e n α_{1}^{2} s e n α_{2}^{2} \\ \cos α_{1}^{2} s e n α_{2}^{2} \\ \cos α_{2}^{2} \end{array})$ e

${\overset{⇀}{σ}}^{3} (α_{1}^{3}, α_{2}^{3}, α_{3}^{3}) = (\begin{array}{r} s e n α_{1}^{3} s e n α_{2}^{3} s e n α_{3}^{3} \\ \cos α_{1}^{3} s e n α_{2}^{3} s e n α_{3}^{3} \\ \cos α_{2}^{3} s e n α_{3}^{3} \\ \cos α_{3}^{3} \end{array})$ .

2.2. Suriettività

Dimostriamo ora che ${\overset{⇀}{σ}}^{n}$ ha per immagine $S^{n}$ .

Innanzi tutto facciamo vedere come l’immagine di ${\overset{⇀}{σ}}^{n}$ sia contenuta in $S^{n}$ .

Sia per ipotesi induttiva $‖ {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} ‖ = 1$ in $R^{n}$ , dunque in virtù della definizione ricorsiva di ${\overset{⇀}{σ}}^{n}$ si ha:

${‖ {\overset{⇀}{σ}}^{n} ‖}^{2} = \sum_{k = 1}^{n + 1} {(σ_{k}^{n} (α_{1}^{n},..., α_{n}^{n}))}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} {(σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n},..., α_{n - 1}^{n}) s e n α_{n}^{n})}^{2} + \cos^{2} α_{n}^{n} = {‖ {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} ‖}^{2} s e n^{2} α_{n}^{n} + \cos^{2} α_{n}^{n} = 1$ Sia $\overset{⇀}{x} \in S^{n} \subset R^{n + 1}$ , facciamo notare come il vettore formato dalle prime $n$ componenti di $\vec{x} = {}^{t}{(x_{1} x_{2} ... x_{n + 1})}$ appartenga a $(\sqrt{1 - x_{n + 1}^{2}}) S^{n - 1}$ ove:

$(\sqrt{1 - x_{n + 1}^{2}}) S^{n - 1} : = {(\overset{⇀}{x} \in R^{n}) : ‖ \vec{x} ‖ = \sqrt{1 - x_{n + 1}^{2}}}$ , in pratica ${}^{t}{(x_{1},..., x_{n})}$ appartiene alla $(n - 1)$ sfera intersezione fra $S^{n}$ e l’iperpiano ortogonale a ${\overset{⇀}{e}}_{n + 1}$ situato alla “quota” $x_{n + 1}$ .

Ora, la funzione ${\overset{⇀}{σ}}^{n - 1}$ parametrizza $S^{n - 1}$ ed è suriettiva su di essa per ipotesi induttiva, allora $\exists {α_{1}^{n},..., α_{n - 1}^{n}}$ tali che $(\sqrt{1 - x_{n + 1}^{2}}) {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} (α_{1}^{n},..., α_{n - 1}^{n}) = {}^{t}{(x_{1} ... x_{n})}$ .

Ora essendo $- 1 \leq x_{n + 1} \leq 1$ e $0 \leq \sqrt{1 - x_{n + 1}^{2}} \leq 1$ esiste $α_{n}^{n} \in [0, π]$ tale che $\cos α_{n}^{n} = x_{n + 1}$ e $s e n α_{n}^{n} = \sqrt{1 - x_{n + 1}^{2}}$ di conseguenza $α_{n}^{n}$ è tale che:

$\vec{x} = (\begin{matrix} (\sqrt{1 - x_{n + 1}^{2}}) σ_{1}^{n - 1} (α_{1}^{n},..., α_{n - 1}^{n}) \\ ... \\ (\sqrt{1 - x_{n + 1}^{2}}) σ_{n}^{n - 1} (α_{1}^{n},..., α_{n - 1}^{n}) \\ x_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} σ_{1}^{n - 1} (α_{1}^{n},..., α_{n - 1}^{n}) s e n α_{n}^{n} \\ ... \\ σ_{n}^{n - 1} (α_{1}^{n},..., α_{n - 1}^{n}) s e n α_{n}^{n} \\ \cos α_{n}^{n} \end{matrix})$

Ma questa è proprio la definizione ricorsiva di ${\overset{⇀}{σ}}^{n}$ che dunque è suriettiva su $S^{n}$ visto che $\forall \vec{x} \in S^{n} \exists {α_{1}^{n},..., α_{n}^{n}} : {\overset{⇀}{σ}}^{n} (α_{1}^{n},..., α_{n}^{n}) = \overset{⇀}{x}$ .

2.3. Il caso bidimensionale

Considereremo ora più da vicino la struttura di $S O_{2} (R)$ , ciò sarà utile come base per le dimostrazioni induttive che faremo nel seguito per descrivere $S O_{n} (R)$ .

Dunque se $A \in S O_{n} (R)$ deve essere: ${}^{t}A • A = (\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}) • (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ e $\det (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = 1$

Da queste relazioni si ottiene il sistema seguente:

${\begin{matrix} a^{2} + c^{2} = 1 \\ b^{2} + d^{2} = 1 \\ a b + c d = 0 \\ a d - b c = 1 \end{matrix}$

E’ facile risolvere tale sistema facendo alcune semplici considerazioni, innanzitutto dovendo essere $b^{2} + d^{2} = 1$ abbiamo che $(\exists α \in [0,2 π]) : d = \cos α$ e $b = s e n α$ dunque dovendo essere $a b + c d = 0$ si ha che $a = \pm k \cos α$ e $c = \mp k s e n α$ , ma dall’ultima relazione otteniamo $a d - b c = 1$ dunque $a = \cos α$ e $c = - s e n α$ .

Dunque la funzione $A (α) = (\begin{matrix} \cos α & s e n α \\ - s e n α & \cos α \end{matrix})$ parametrizza tutto $S O_{2} (R)$ .

2.4. Definizione della base ortonormale

Poniamo ora:

$\begin{array}{l} {\overset{⇀}{ω}}_{1}^{n} (α_{1}^{n - 1}) : = {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2},..., \frac{π}{2}) \\ ................................................................................................... \\ {\overset{⇀}{ω}}_{k}^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1}) : = {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1}, α_{2}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2},..., \frac{π}{2}) \\ ................................................................................................... \\ {\overset{⇀}{ω}}_{n - 2}^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1}) : = {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1}, α_{2}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \\ {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) : = {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1}, α_{2}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1} + \frac{π}{2}) \\ {\overset{⇀}{ω}}_{n}^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) : = {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1}, α_{2}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) \end{array}$

Indicheremo le componenti di ${\overset{⇀}{ω}}_{k}^{n}$ nel modo seguente:

${\overset{⇀}{ω}}_{k}^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1}) : = (\begin{matrix} {(ω_{k}^{n})}_{1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1}) \\ ... \\ {(ω_{k}^{n})}_{i} (α_{1}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1}) \\ ... \\ {(ω_{k}^{n})}_{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1}) \end{matrix})$

2.5. Osservazione importante

Notiamo che per definizione $\forall k \leq n - 2$ abbiamo ${(ω_{k}^{n})}_{i} (α_{1}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1}) = {(ω_{k}^{n - 1})}_{i} (α_{1}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1})$ per $i < n$ e ${(ω_{k}^{n})}_{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1}) = 0$ (verificare), inoltre si ha:

$\begin{array}{l} {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) = (\begin{array}{l} \cos α_{n - 1}^{n - 1} {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1}) \\ - s e n α_{n - 1}^{n - 1} \end{array}) \\ {\overset{⇀}{ω}}_{n}^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) = (\begin{array}{l} s e n α_{n - 1}^{n - 1} {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1}) \\ \cos α_{n - 1}^{n - 1} \end{array}) \end{array}$

Si invita il lettore a verificare quanto affermato, in quanto fondamentale ai fini delle dimostrazioni che daremo in seguito.

3. La funzione matriciale

3.1. Definizione

Definiamo contestualmente la funzione matriciale $M^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) : = ({\vec{ω}}_{1}^{n} ... {\vec{ω}}_{n}^{n})$ .

Dimostreremo più avanti che tale funzione è a valori in $S O_{n} (R)$ .

Riportiamo a titolo d’esempio le matrici $M^{2} (α_{1}^{1})$ , $M^{3} (α_{1}^{2}, α_{2}^{2})$ , e $M^{4} (α_{1}^{3}, α_{2}^{3}, α_{3}^{3})$ ; si invita il lettore ad effettuare i calcoli necessari per ottenerle esplicitamente.

$M^{2} (α_{1}^{1}) = (\begin{array}{r} \cos α_{1}^{1} & s e n α_{1}^{1} \\ - s e n α_{1}^{1} & \cos α_{1}^{1} \end{array})$ ;

$M^{3} (α_{1}^{2}, α_{2}^{2}) = (\begin{array}{r} \cos α_{1}^{2} & s e n α_{1}^{2} \cos α_{2}^{2} & s e n α_{1}^{2} s e n α_{2}^{2} \\ - s e n α_{1}^{2} & \cos α_{1}^{2} \cos α_{2}^{2} & \cos α_{1}^{2} s e n α_{2}^{2} \\ 0 & - s e n α_{2}^{2} & \cos α_{2}^{2} \end{array})$

$M^{4} (α_{1}^{3}, α_{2}^{3}, α_{3}^{3}) = (\begin{array}{r} \cos α_{1}^{3} & s e n α_{1}^{3} \cos α_{2}^{3} & s e n α_{1}^{3} s e n α_{2}^{3} \cos α_{3}^{3} & s e n α_{1}^{3} s e n α_{2}^{3} s e n α_{3}^{3} \\ - s e n α_{1}^{3} & \cos α_{1}^{3} \cos α_{2}^{3} & \cos α_{1}^{3} s e n α_{2}^{3} \cos α_{3}^{3} & \cos α_{1}^{3} s e n α_{2}^{3} s e n α_{3}^{3} \\ 0 & - s e n α_{2}^{3} & \cos α_{2}^{3} \cos α_{3}^{3} & \cos α_{2}^{3} s e n α_{3}^{3} \\ 0 & 0 & - s e n α_{3}^{3} & \cos α_{3}^{3} \end{array})$

A questo punto sarà certamente chiara la struttura delle matrici $M^{n}$ appena introdotte.

Dimostriamo ora per induzione che la matrice $M^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1})$ è a valori in $S O_{n} (R) \forall n \in N$ , ciò è vero per $n = 2$ , per $n > 2$ dimostreremo che i vettori ${\overset{⇀}{ω}}_{1}^{n},..., {\overset{⇀}{ω}}_{n}^{n}$ formano una base ortonormale.

Intanto $‖ {\overset{⇀}{ω}}_{k}^{n} ‖ = ‖ {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{k}^{n - 1} + \frac{π}{2}) ‖ = 1 \forall k \leq n$ perché

${\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) \in S^{n - 1} \forall {α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}} \in R^{n - 1}$ come abbiamo già visto.

Sia dunque per ipotesi induttiva ${\overset{⇀}{ω}}_{i}^{n - 1} • {\overset{⇀}{ω}}_{j}^{n - 1} = 0 \forall i \neq j$ , abbiamo (si tenga bene a mente la definizione ricorsiva di ${\overset{⇀}{σ}}^{n}$ ):

- Caso $(i \neq j) < n - 2$

$\begin{array}{l} {\overset{⇀}{ω}}_{i}^{n} • {\overset{⇀}{ω}}_{j}^{n} = \sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{i}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2},..., \frac{π}{2}) σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{j}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2},..., \frac{π}{2}) = \\ = [\sum_{k = 1}^{n - 1} σ_{k}^{n - 2} (α_{1}^{n - 1},..., α_{i}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2},..., \frac{π}{2}) σ_{k}^{n - 2} (α_{1}^{n - 1},..., α_{j}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2},..., \frac{π}{2}) s e n^{2} \frac{π}{2}] + \cos^{2} \frac{π}{2} = \\ = {\overset{⇀}{ω}}_{i}^{n - 1} • {\overset{⇀}{ω}}_{j}^{n - 1} = 0 \end{array}$

- Caso $i \leq n - 2, j = n - 1$

$\begin{array}{l} {\overset{⇀}{ω}}_{i}^{n} • {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n} = \sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{i}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2},..., \frac{π}{2}) σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1} + \frac{π}{2}) = \\ = [\sum_{k = 1}^{n - 1} σ_{k}^{n - 2} (α_{1}^{n - 1},..., α_{i}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2},..., \frac{π}{2}) σ_{k}^{n - 2} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1}) s e n \frac{π}{2} s e n (α_{n - 1}^{n - 1} + \frac{π}{2})] + \\ + \cos \frac{π}{2} \cos (α_{n - 1}^{n - 1} + \frac{π}{2}) = {\overset{⇀}{ω}}_{i}^{n - 1} • {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1} \cos α_{n - 1}^{n - 1} = 0 \end{array}$

- Caso $i \leq n - 2, j = n$

$\begin{array}{l} {\overset{⇀}{ω}}_{i}^{n} • {\overset{⇀}{ω}}_{n}^{n} = \sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{i}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2},..., \frac{π}{2}) σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) = \\ = [\sum_{k = 1}^{n - 1} σ_{k}^{n - 2} (α_{1}^{n - 1},..., α_{i}^{n - 1} + \frac{π}{2}, \frac{π}{2},..., \frac{π}{2}) σ_{k}^{n - 2} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1}) s e n \frac{π}{2} s e n α_{n - 1}^{n - 1}] + \\ + \cos \frac{π}{2} \cos α_{n - 1}^{n - 1} = {\overset{⇀}{ω}}_{i}^{n - 1} • {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1} s e n α_{n - 1}^{n - 1} = 0 \end{array}$

- Caso $i = n - 1, j = n$

$\begin{array}{l} {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n} • {\overset{⇀}{ω}}_{n}^{n} = \sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1} + \frac{π}{2}) σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) = \\ = [\sum_{k = 1}^{n - 1} σ_{k}^{n - 2} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1}) σ_{k}^{n - 2} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1}) s e n (α_{n - 1}^{n - 1} + \frac{π}{2}) s e n α_{n - 1}^{n - 1}] + \\ + \cos (α_{n - 1}^{n - 1} + \frac{π}{2}) \cos α_{n - 1}^{n - 1} = ({\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1} • {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1} - 1) s e n α_{n - 1}^{n - 1} \cos α_{n - 1}^{n - 1} = 0 \end{array}$

3.2. La funzione matriciale è a determinante positivo

Dimostriamo ora che $\det M^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1}) = 1 \Rightarrow \det M^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) = 1$ .

Abbiamo (omettiamo gli argomenti delle funzioni):

$\det M^{n} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) = \det ({\overset{⇀}{ω}}_{1}^{n},..., {\overset{⇀}{ω}}_{n}^{n}) = \det (\begin{matrix} {(ω_{1}^{n})}_{1} & ... & {(ω_{n - 2}^{n})}_{1} & {(ω_{n - 1}^{n})}_{1} & {(ω_{n}^{n})}_{1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ {(ω_{1}^{n})}_{i} & ... & {(ω_{n - 2}^{n})}_{i} & {(ω_{n - 1}^{n})}_{i} & {(ω_{n}^{n})}_{i} \\ ... & ... & ... & ... \\ {(ω_{1}^{n})}_{n} & ... & {(ω_{n - 2}^{n})}_{n} & {(ω_{n - 1}^{n})}_{n} & {(ω_{n}^{n})}_{n} \end{matrix})$

ovvero:

$\begin{array}{l} = \det (\begin{matrix} {(ω_{1}^{n - 1})}_{1} & ... & {(ω_{n - 2}^{n - 1})}_{1} & {(ω_{n - 1}^{n - 1})}_{1} \cos α_{n - 1}^{n - 1} & {(ω_{n - 1}^{n - 1})}_{1} s e n α_{n - 1}^{n - 1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ {(ω_{1}^{n - 1})}_{n - 1} & ... & {(ω_{n - 2}^{n - 1})}_{n - 1} & {(ω_{n - 1}^{n - 1})}_{n - 1} \cos α_{n - 1}^{n - 1} & {(ω_{n - 1}^{n - 1})}_{n - 1} s e n α_{n - 1}^{n - 1} \\ 0 & ... & 0 & - s e n α_{n - 1}^{n - 1} & \cos α_{n - 1}^{n - 1} \end{matrix}) = \\ = (s e n^{2} α_{n - 1}^{n - 1} + \cos^{2} α_{n - 1}^{n - 1}) \det (\begin{matrix} {(ω_{1}^{n - 1})}_{1} & ... & {(ω_{n - 1}^{n - 1})}_{1} \\ ... & ... & ... \\ {(ω_{1}^{n - 1})}_{n - 1} & ... & {(ω_{n - 1}^{n - 1})}_{n - 1} \end{matrix}) = \\ = \det ({\overset{⇀}{ω}}_{1}^{n - 1},..., {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1}) = \det M^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1}) = 1 \end{array}$

4. La parametrizzazione

4.1. Definizione della parametrizzazione

Definiamo le matrici $M_{k}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{k - 1}) = (\begin{matrix} M^{k} (α_{1}^{k - 1},..., α_{k - 1}^{k - 1}) & N_{k, n - k} \\ N_{n - k, k} & I_{n - k} \end{matrix})$ , ove ${\overset{⇀}{α}}^{k} : = {α_{1}^{k}, α_{2}^{k},..., α_{k}^{k}}$

Possiamo definire ora la funzione $Ω^{n} : {[0,2 π]}^{n - 1} \times {[0, π]}^{\frac{(n - 1) (n - 2)}{2}} \to S O_{n} (R)$ ponendo $Ω^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) : = \prod_{k = 2}^{n} M_{n - k + 2}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - k + 1})$ .

Così ad esempio $Ω^{4} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{3}) = \prod_{k = 2}^{4} M_{4 - k + 2}^{4} ({\overset{⇀}{α}}^{4 - k + 1}) =$

$\begin{array}{l} = (\begin{array}{r} \cos α_{1}^{3} & s e n α_{1}^{3} \cos α_{2}^{3} & s e n α_{1}^{3} s e n α_{2}^{3} \cos α_{3}^{3} & s e n α_{1}^{3} s e n α_{2}^{3} s e n α_{3}^{3} \\ - s e n α_{1}^{3} & \cos α_{1}^{3} \cos α_{2}^{3} & \cos α_{1}^{3} s e n α_{2}^{3} \cos α_{3}^{3} & \cos α_{1}^{3} s e n α_{2}^{3} s e n α_{3}^{3} \\ 0 & - s e n α_{2}^{3} & \cos α_{2}^{3} \cos α_{3}^{3} & \cos α_{2}^{3} s e n α_{3}^{3} \\ 0 & 0 & - s e n α_{3}^{3} & \cos α_{3}^{3} \end{array}) • \\ • (\begin{array}{r} \cos α_{1}^{2} & s e n α_{1}^{2} \cos α_{2}^{2} & s e n α_{1}^{2} s e n α_{2}^{2} & 0 \\ - s e n α_{1}^{2} & \cos α_{1}^{2} \cos α_{2}^{2} & \cos α_{1}^{2} s e n α_{2}^{2} & 0 \\ 0 & - s e n α_{2}^{2} & \cos α_{2}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) • (\begin{array}{r} \cos α_{1}^{1} & s e n α_{1}^{1} & 0 & 0 \\ - s e n α_{1}^{1} & \cos α_{1}^{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}$

E’ immediato verificare che le matrici
$M_{k}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{k - 1})$ e $Ω^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1})$ sono ortogonali, per dimostrare che $Ω^{n}$ parametrizza $S O_{n} (R)$ basta quindi far vedere che è suriettiva.

4.2. Suriettività della parametrizzazione

Per farlo mostreremo che data una base ortonormale destra ${{\overset{⇀}{x}}_{1},..., {\overset{⇀}{x}}_{n}}$ di $R^{n}$ esistono ${{\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}}$ ovvero ${α_{1}^{1}, α_{1}^{2}, α_{2}^{2},..., α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}} \in {[0,2 π]}^{n - 1} \times {[0, π]}^{\frac{(n - 1) (n - 2)}{2}}$ tali che:

$Ω^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) • {\overset{⇀}{e}}_{k} = {\overset{⇀}{x}}_{k} \forall k \in {1,..., n}$ .

Ricordiamo che $M^{2} (α_{1}^{1}) \equiv M_{2}^{2} (α_{1}^{1}) \equiv \prod_{k = 2}^{2} M_{k}^{2} (α_{1}^{1}) = Ω_{2} (α_{1}^{1})$ , dunque, come abbiamo già visto, $Ω^{2}$ è suriettiva su $S O_{2} (R)$ .

Sia dunque ${{\overset{⇀}{x}}_{1},..., {\overset{⇀}{x}}_{n}}$ una base ortonormale destra di $R^{n}$ , si ha $‖ {\overset{⇀}{x}}_{n} ‖ = 1$ dunque ${\overset{⇀}{x}}_{n} \in S^{n - 1}$ , allora esistono ${α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}} \in [0,2 π] \times {[0, π]}^{n - 2}$ tali che ${\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) = {\overset{⇀}{x}}_{n}$ .

Abbiamo pure $M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) • {\overset{⇀}{e}}_{n} = {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) = {\overset{⇀}{x}}_{n}$ ; notiamo che $M^{n}$ manda i vettori della base canonica ${\overset{⇀}{e}}_{1},..., {\overset{⇀}{e}}_{n - 1}$ in una base ortonormale destra contenuta nell’iperpiano ortogonale a ${\overset{⇀}{x}}_{n} \equiv {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1})$ .

Viceversa ${}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))}$ è tale che ${}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))} • {\overset{⇀}{x}}_{n} = {\overset{⇀}{e}}_{n}$ e ${}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))} • {\overset{⇀}{x}}_{k} \in s p a n ({\overset{⇀}{e}}_{1},..., {\overset{⇀}{e}}_{n - 1}) \forall k < n$ anche se in generale ${}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))} • {\overset{⇀}{x}}_{k} \neq {\overset{⇀}{e}}_{k} \forall k \neq n$ .

Per mandare i vettori ${}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))} • {\overset{⇀}{x}}_{1},..., {}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))} • {\overset{⇀}{x}}_{n - 1}$ nei vettori di base ${\overset{⇀}{e}}_{1},..., {\overset{⇀}{e}}_{n - 1}$ basta applicare a sinistra la matrice ${}^{t}{(\begin{matrix} Ω^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 2}) & N_{n - 1,1} \\ N_{1, n - 1} & 1 \end{matrix})}$ alla ${}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))}$ ; infatti la ${}^{t}{(\begin{matrix} Ω^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 2}) & N_{n - 1,1} \\ N_{1, n - 1} & 1 \end{matrix})}$ lascia invariato l’ultimo vettore riga di ${}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))}$ , ovverosia ${\overset{⇀}{x}}_{n} \equiv {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1})$ , inoltre per ipotesi induttiva $\exists {{\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 2}} \in {[0,2 π]}^{n - 2} \times {[0, π]}^{\frac{(n - 2) (n - 3)}{2}}$ tali che (con ${\overset{⇀}{e}}_{k}$ indichiamo indifferentemente il $k - e s i m o$ vettore di base canonica di $R^{n - 1}$ e/o $R^{n}$ ):

${}^{t}{(\begin{matrix} Ω^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 2}) & N_{n - 1,1} \\ N_{1, n - 1} & 1 \end{matrix})} • {\overset{⇀}{e}}_{k} = (\begin{matrix} Ω^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 2}) • {\overset{⇀}{e}}_{k} \\ 0 \end{matrix}) = {}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))} • {\overset{⇀}{x}}_{k} \forall k < n$ (ricordiamo che i vettori ${}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))} • {\overset{⇀}{x}}_{1},..., {}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))} • {\overset{⇀}{x}}_{n - 1}$ , essendo ortogonali a ${\overset{⇀}{e}}_{n}$ , hanno la $n - e s i m a$ coordinata nulla).

Dunque, applicando a sinistra la matrice $M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1})$ ad entrambi i membri dell’espressione precedente abbiamo:

$M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) • {}^{t}{(\begin{matrix} Ω^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 2}) & N_{n - 1,1} \\ N_{1, n - 1} & 1 \end{matrix})} • {\overset{⇀}{e}}_{k} = M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) • ({}^{t}{(M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}))} • {\overset{⇀}{x}}_{k}) = {\overset{⇀}{x}}_{k} \forall k < n$

ma abbiamo anche:

$\begin{array}{l} M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) • {}^{t}{(\begin{matrix} Ω^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 2}) & N_{n - 1,1} \\ N_{1, n - 1} & 1 \end{matrix})} = M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) • \prod_{k = 3}^{n} M_{n - k + 2}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - k + 1}) = \\ = \prod_{k = 2}^{n} M_{n - k + 2}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - k + 1}) = Ω^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) \end{array}$

dunque esistono ${{\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}} \in {[0,2 π]}^{n - 1} \times {[0, π]}^{\frac{(n - 1) (n - 2)}{2}}$ tali che $Ω^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) • {\overset{⇀}{e}}_{k} = {\overset{⇀}{x}}_{k}$ $\forall k \in {1,..., n}$

5. Decomposizione in rotazioni piane

Dimostrata la suriettività di $Ω^{n}$ ricaviamo un’ulteriore proprietà delle matrici $M^{n}$ che permetterà di esprimere qualunque rotazione in $R^{n}$ come composizione di rotazioni piane.

5.1. Matrici a blocchi

Introduciamo le matrici $P_{k}^{n}$ :

$P_{k}^{n} (α_{k}^{n - 1}) : = (\begin{matrix} I_{k - 1} & N_{k - 1,2} & N_{k - 1, n - k - 1} \\ N_{2, k - 1} & \begin{array}{r} \cos α_{k}^{n - 1} & s e n α_{k}^{n - 1} \\ - s e n α_{k}^{n - 1} & \cos α_{k}^{n - 1} \end{array} & N_{2, n - k - 1} \\ N_{n - k - 1, k - 1} & N_{n - k - 1,2} & I_{n - k - 1} \end{matrix})$

Dimostriamo per induzione che $M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) = \prod_{k = 1}^{n - 1} P_{k}^{n} (α_{k}^{n - 1})$ ; intanto ciò è banalmente vero per $n = 2$ infatti $M^{2} (α_{1}^{1}) = \prod_{k = 1}^{1} P_{k}^{2} (α_{k}^{1}) = P_{1}^{2} (α_{1}^{1})$ .

Sia dunque la proposizione vera per $n - 1$ , e dimostriamola per $n$ ; abbiamo:

$\prod_{k = 1}^{n - 1} P_{k}^{n} (α_{k}^{n - 1}) = \prod_{k = 1}^{n - 2} (\begin{matrix} P_{k}^{n - 1} (α_{k}^{n - 1}) & N_{n - 1,1} \\ N_{1, n - 1} & 1 \end{matrix}) • P_{n - 1}^{n} (α_{n - 1}^{n - 1}) =$ $= (\begin{matrix} M^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1}) & N_{n - 1,1} \\ N_{1, n - 1} & 1 \end{matrix}) • (\begin{matrix} I_{n - 2} & N_{n - 2,2} \\ N_{2, n - 2} & \begin{array}{r} \cos α_{n - 1}^{n - 1} & s e n α_{n - 1}^{n - 1} \\ - s e n α_{n - 1}^{n - 1} & \cos α_{n - 1}^{n - 1} \end{array} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} {\overset{⇀}{ω}}_{1}^{n - 1} & ... & {\overset{⇀}{ω}}_{n - 2}^{n - 1} & {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1} & N_{n - 1,1} \\ 0 & ... & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) • (\begin{matrix} I_{n - 2} & N_{n - 2,2} \\ N_{2, n - 2} & \begin{array}{r} \cos α_{n - 1}^{n - 1} & s e n α_{n - 1}^{n - 1} \\ - s e n α_{n - 1}^{n - 1} & \cos α_{n - 1}^{n - 1} \end{array} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} {\overset{⇀}{ω}}_{1}^{n - 1} & ... & {\overset{⇀}{ω}}_{n - 2}^{n - 1} & \cos α_{n - 1}^{n - 1} {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1} & s e n α_{n - 1}^{n - 1} {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1} \\ 0 & ... & 0 & - s e n α_{n - 1}^{n - 1} & \cos α_{n - 1}^{n - 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} {\overset{⇀}{ω}}_{1}^{n} & ... & {\overset{⇀}{ω}}_{n}^{n} \end{matrix}) = M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1})$

5.2. La formula finale

È chiaro poi che $M_{k}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{k - 1}) = \prod_{j = 1}^{k - 1} P_{j}^{n} (α_{j}^{k - 1})$ .

Ricordando ora che si ha $Ω^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) = \prod_{k = 2}^{n} M_{n - k + 2}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - k + 1})$ e sostituendo in tale espressione quella di $M_{k}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{k - 1}) = \prod_{j = 1}^{k - 1} P_{j}^{n} (α_{j}^{k - 1})$ si ottiene la generalizzazione del teorema di Eulero a $S O_{n} (R)$ :

$Ω^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) = \prod_{k = 2}^{n} M_{n - k + 2}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - k + 1}) = \prod_{k = 2}^{n} (\prod_{j = 1}^{n - k + 1} P_{j}^{n} (α_{j}^{n - k + 1}))$ ; il lettore può verificare personalmente come tale espressione coincida con quella data da Eulero per $S O_{3} (R)$ .

Riportiamo a titolo di esempio la decomposizione di $Ω^{4} (α^{1}, {\overset{⇀}{α}}^{2}, {\overset{⇀}{α}}^{3})$ in rotazioni piane:

$\begin{array}{l} Ω^{4} (α^{1}, {\overset{⇀}{α}}^{2}, {\overset{⇀}{α}}^{3}) = \\ = (\begin{matrix} \cos α_{1}^{3} & s e n α_{1}^{3} & 0 & 0 \\ - s e n α_{1}^{3} & \cos α_{1}^{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) • (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α_{2}^{3} & s e n α_{2}^{3} & 0 \\ 0 & - s e n α_{2}^{3} & \cos α_{2}^{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) • (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos α_{3}^{3} & s e n α_{3}^{3} \\ 0 & 0 & - s e n α_{3}^{3} & \cos α_{3}^{3} \end{matrix}) • \\ • (\begin{matrix} \cos α_{1}^{2} & s e n α_{1}^{2} & 0 & 0 \\ - s e n α_{1}^{2} & \cos α_{1}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) • (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α_{2}^{2} & s e n α_{2}^{2} & 0 \\ 0 & - s e n α_{2}^{2} & \cos α_{2}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) • (\begin{matrix} \cos α_{1}^{1} & s e n α_{1}^{1} & 0 & 0 \\ - s e n α_{1}^{1} & \cos α_{1}^{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{array}$

6. Un algoritmo per le matrici ortogonali

Diamo ora un algoritmo per decomporre una matrice ortogonale a determinante positivo nella forma appena ricavata; sia allora $B = (b_{j}^{i}) \in S O_{n} (R)$ , ci proponiamo di trovare gli angoli ${{\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}}$ ovvero ${α_{1}^{1}, α_{1}^{2}, α_{2}^{2},..., α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}} \in {[0,2 π]}^{n - 1} \times {[0, π]}^{\frac{(n - 1) (n - 2)}{2}}$ tali che si abbia $Ω^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) = B$ .

$B : = (\begin{matrix} b_{1}^{1} & ... & b_{n - 1}^{1} & b_{n}^{1} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_{1}^{n - 1} & ... & b_{n - 1}^{n - 1} & b_{n}^{n - 1} \\ b_{1}^{n} & ... & b_{n - 1}^{n} & b_{n}^{n} \end{matrix})$

Ricordiamo che l’ultima colonna di $Ω^{n}$ coincide con l’ultima di $M^{n}$ , in quanto la moltiplicazione a destra per le matrici $M_{k}^{n}$ la lascia invariata.

In particolare l’ultimo vettore colonna di $M^{n}$ è ${\overset{⇀}{ω}}_{n}^{n} \equiv {\overset{⇀}{σ}}^{n - 1}$ dunque l’ultima colonna di $B$ dovrà essere uguale a: ${\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) = (\begin{matrix} σ_{1}^{n - 1} \\ ... \\ σ_{n - 1}^{n - 1} \\ σ_{n}^{n - 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} s e n α_{n - 1}^{n - 1} {\overset{⇀}{ω}}_{n - 1}^{n - 1} \\ \cos α_{n - 1}^{n - 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{n}^{1} \\ ... \\ b_{n}^{n - 1} \\ b_{n}^{n} \end{matrix})$ ; supponiamo ora $| b_{n}^{n} | \neq 1$ (altrimenti avremo una matrice a blocchi $(\begin{matrix} B' & N_{n - 1,1} \\ N_{1, n - 1} & \pm 1 \end{matrix})$ e potremo quindi applicare il procedimento di seguito esposto a $B'$ , moltiplicando preventivamente una riga o colonna di $B'$ per $- 1$ nel caso $b_{n}^{n} = - 1$ e quindi $B' \in O_{n} (R) \ S O_{n} (R)$ ).

Per le considerazioni sopra esposte dev’essere $b_{n}^{n} = σ_{n}^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) = \cos α_{n - 1}^{n - 1}$ con $α_{n - 1}^{n - 1} \in [0, π]$ determinato univocamente da $α_{n - 1}^{n - 1} = a r \cos b_{n}^{n}$ .

A questo punto essendo $σ_{k}^{n - 1} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}) = s e n α_{n - 1}^{n - 1} σ_{k}^{n - 2} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 1})$ per $k < n$ abbiamo:

$σ_{k}^{n - 2} (α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 2}^{n - 2}) = (\begin{matrix} \frac{b_{n}^{1}}{s e n α_{n - 1}^{n - 1}} \\ ... \\ \frac{b_{n}^{n - 1}}{s e n α_{n - 1}^{n - 1}} \\ \frac{b_{n}^{n}}{s e n α_{n - 1}^{n - 1}} \end{matrix})$ ; notando poi che $\cos α_{n - 2}^{n - 1} = \frac{b_{n}^{n - 1}}{s e n α_{n - 1}^{n - 1}}$ ( $s e n α_{n - 1}^{n - 1} \neq 0$

perché abbiamo supposto $| b_{n}^{n} | \neq 1$ ) e ricavando così $α_{n - 2}^{n - 1}$ si può determinare $\cos α_{n - 3}^{n - 1} = \frac{b_{n}^{n - 2}}{s e n α_{n - 1}^{n - 1} s e n α_{n - 2}^{n - 1}}$ con lo stesso metodo e le stesse considerazioni usate per $α_{n - 2}^{n - 1}$ ; continuando mediante un procedimento “all’indietro” si possono determinare tutti i parametri ${α_{1}^{n - 1},..., α_{n - 1}^{n - 1}} \in [0,2 π] \times {[0, π]}^{n - 2}$ , e di conseguenza ${\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1})$ e $M^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1})$ che da ${\overset{⇀}{σ}}^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 1})$ è completamente descritta.

A questo punto, ricordando che si ha $Ω^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 1}) = \prod_{k = 2}^{n} M_{n - k + 2}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - k + 1})$ , basta moltiplicare $B$ a sinistra per la matrice ${(M^{n})}^{- 1} = {}^{t}{(M^{n})}$ appena ottenuta, ricavando così

la matrice $(\begin{matrix} Ω^{n - 1} ({\overset{⇀}{α}}^{1},..., {\overset{⇀}{α}}^{n - 2}) & N_{1, n - 1} \\ N_{n - 1,1} & 1 \end{matrix}) = {}^{t}{(M^{n})} • B$ ; applicando poi a ${}^{t}{(M^{n})} • B$ il medesimo procedimento usato per $B$ , notando cioè come la $(n - 1) - e s i m a$ colonna della matrice formata dalle sue prime $n - 1$ righe e colonne sia uguale a ${\overset{⇀}{σ}}^{n - 2} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 2})$ si determinano ${α_{1}^{n - 2},..., α_{n - 2}^{n - 2}} \in [0,2 π] \times {[0, π]}^{n - 3}$ dunque $M_{n - 1}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{n - 2})$ e così via, fino a ricavare, sempre “all’indietro”, $α_{1}^{1}$ e $M_{2}^{n} (α_{1}^{1})$ .

7. Considerazioni finali

Per finire facciamo alcune considerazioni sul numero di parametri necessario per descrivere $S O_{n} (R)$ ; notiamo che abbiamo scomposto una rotazione di $R^{n}$ in $\frac{n (n - 1)}{2}$ rotazioni piane, e che i piani ottenibili combinando a due a due gli $n$ vettori di base sono esattamente $(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) = \frac{n (n - 1)}{2}$ .

Per quanto riguarda $Ω^{n}$ ricordiamo che essa è definita come prodotto da $n$ a $2$ delle funzioni $M_{k}^{n} ({\overset{⇀}{α}}^{k - 1}) : [0,2 π] \times {[0, π]}^{k - 2} \to S O_{n} (R)$ , dunque è il prodotto di $n - 1$ matrici aventi ciascuna un dominio del tipo $[0,2 π] \times {[0, π]}^{k - 2}$ ; dunque $Ω^{n}$ avrà un dominio formato da ${[0,2 π]}^{n - 1}$ e da ${[0, π]}^{\frac{(n - 1) (n - 2)}{2}}$ dunque dipende in tutto da $\frac{n (n - 1)}{2}$ parametri indipendenti.

Ancora, la condizione di ortogonalità per una matrice di ordine n è definita da $\frac{n (n + 1)}{2}$ prodotti scalari dunque richiede $n^{2} - \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n (n - 1)}{2}$ parametri indipendenti.